جلسه هشتم آموزش ریاضی نهم ( اثبات و استدلال در هندسه )

درس این جلسه به ” اثبات و استدلال در هندسه ” اختصاص دارد.

در قسمت اول، مفاهیم ” فرض ” و ” حکم ” مساله را تعریف کرده و با بررسی چند مثال نوشتن فرض و حکم را آموزش می‌دهیم.

سپس تمرین اول صفحه 35 را حل می‌کنیم.

در بخش دوم درس مطالبی را درباره استدلال و اثبات مسائل در هندسه بیان می‌کنیم. مثالهای مهمی را در این قسمت بررسی می‌کنیم.

با حل تمرین اول صفحه 42 ، درس را به پایان می‌رسانیم.

در ادامه ابتدا مختصری از مطالب گفته شده در این جلسه را می‌بینید ، سپس لینک دانلود جزوه و در انتها ویدیوهای آموزشی مربوط به این جلسه 

بخش‌هایی از درس:

ما برای ثابت کردن یه مساله باید از دلیل های منطقی و قانع کننده استفاده کنیم و با استدلال، درستی یه مطلب رو نشون بدیم. برای این منظور دو تا مفهوم رو باید خیلی دقیق بفهمیم:

فرض مساله: اطلاعاتی که مساله به ما میده

حکم مساله: خواسته ای که مساله از ما میخواد

حالا به مساله زیر توجه کنید:

نشون دهید اندازه زاویه‌ی مجهول 60 درجه­ هست :

خب توی این مساله فرض و حکم مساله چیه؟

گفتیم فرض مساله، اطلاعاتیه که مساله به ما میده، اینجا مساله چه اطلاعاتی به ما داده ؟ هررر چیزی که به ذهنتون میرسه رو بنویسید:

فرضهای مساله:

اول اینکه مثلث ما قائم‌­الزاویه‌­س. بنابراین یکی از زاویه هاش 90 درجه­ س

دوم اینکه یکی از زاویه های مثلث 30 درجه­‌س.(خود شکل مشخص کرده)

آیا مساله اطلاعات دیگه ای به ما داده؟ یه چیزی هست که ما از قبل می‌دونیم:

مجموع زاویه های داخلی یک مثلث 180 درجه است.

حکم مساله چیه؟ چیزی که مساله از ما خواسته که نشون بدیم. بنابراین:

حکم مساله: اندازه زاویه مجهول 60 درجه است.

در مثالهای زیر فرض و حکم مساله را تعیین کنید:

اگر در یک مثلث دو زاویه نابرابر باشند، ضلع روبرو به زاویه بزرگتر، بزرگتر است از ضلع روبرو به زاویه کوچکتر .

یه توصیه بهتون می­کنم اونم اینه که حتما برای این سوالها شکل بکشید، چون هم راهنماییتون میکنه که فرض و حکم رو مشخص کنید هم اینکه توی استدلال کردن خیلی بهتون کمک میکنه.

الان باید چی بکشیم؟ یه مثلث با دو تا زاویه نابرابر. خب می­کشیم:

در این مثلث زاویه های A و B نابرابرن. فرض مساله ما چیه؟ تنها چیزی که مساله به ما میگه اینه:

A > B

حکم مساله چیه؟ مساله از ما خواسته چی رو نشون بدیم؟

گفته نشون بدید ضلع روبرو به زاویه بزرگتر، بزرگتر است از ضلع روبرو به زاویه کوچکتر

با توجه به شکل این جمله رو چطوری نشون بدیم؟

ضلع روبرو به زاویه بزرگتر چیه اینجا؟ BC

ضلع روبرو به زاویه کوچکتر چیه اینجا؟ AC

پس ما باید چی رو نشون بدیم؟ باید نشون بدیم BC > AC

بنابراین حکم مساله ما اینه:                                                        BC > AC

…….

اثبات در هندسه:

تا اینجا با مفهوم فرض و حکم آشنا شدیم، اما چیزی که مهمه اینه که ما باید با یه استدلال درست، با استفاده از فرض مساله، حکم مساله رو ثابت کنیم.

اینکه ما فرض و حکم رو به درستی تشخیص بدیم به تنهایی برای اثبات مساله کافی نیست، چیز دیگه ای که ما لازم داریم یه استدلال درسته.

مثال :

مثلث زیر متساوی­‌الساقین و AD نیمساز وارد بر قاعده آن است. نشان دهید نیمساز وارد بر قاعده میانه نیز می‌باشد.

قرار ما این بود که جمله به جمله بنویسیم و ببینیم چه اطلاعاتی می‌تونیم ازش به دست بیاریم:

جمله اول: مثلث ABC متساوی­‌الساقین است.

در نگاه اول ممکنه فکر کنید که این جمله هیچ فرضی به ما نمیده ولی اگه یه کوچولو دقت کنید متوجه می‌شید که این جمله هم اطلاعات به ما میده

اول اینکه مثلث ABC متساوی‌­الساقینه، یعنی دو ضلع AB و AC با هم برابرن، پس فرض اول این شد:

AB = AC

از طرفی صورت سوال به ما گفته AD نیمسازه، یعنی زاویه A رو به دو زاویه مساوی تقسیم میکنه. پس:

A1 = A2

تا اینجا یه زاویه و یه ضلع مساوی پیدا کردیم. با دقت شکل رو نگاه می‌کنیم ببینیم می‌تونیم نکته دیگه ای پیدا کنیم؟

در قسمت قبل بهتون گفتم اگه دو تا مثلث به هم چسبیده بودن حتما از اون ضلع مشترک استفاده می‌کنیم. بنابراین داریم: 

                                                                  AD = AD

یه بار دیگه فرضهامون رو می‌نویسیم:

AB = AC

A1 = A2

AD = AD

با توجه به این سه فرض، می‌بینیم که دو تا مثلت بنا به حالت ض ز ض با هم همنهشتن. بنابراین BD = DC هست، یعنی نقطه D وسط ضلع BC هست و بنابراین AD میانه ضلع BC است.

فایل کامل این جلسه را می‌توانید از طریق لینک زیر دانلود کنید:

---

دانلود فایل کامل جلسه هشتم آموزش ریاضی نهم

---

ویدیوی مربوط به اثبات و استدلال د رهندسه ، قسمت اول ( فرض و حکم ) :

---

---

ویدیوی مربوط به اثبات و استدلال د رهندسه ، قسمت دوم ( استدلال) :